Pinto, E. y Cañadas, M. C. (2020). Generalizations of third and fifth graders within a functional approach to early algebra. Mathematics Education Research Journal, in press(30), 1-24.

We describe 24 third (8–9 years old) and 24 fifth (10–11 years old) graders’ generalization working with the same problem involving a function. Generalizing and representing functional relationships are considered key elements in a functional approach to early algebra. Focusing on functional relationships can provide insights into how students work with two or more covarying quantities rather than isolated computations, and focusing on representations can help to identify the type of representations useful to them. The goals of this study are to (1) describe the functional relationships evidenced in students’ responses and (2) describe the representations that the students use. In addressing these research objectives, we describe student responses drawn from a Classroom Teaching Experiment in each grade. We analyzed students’ written responses to different questions designed to generalize the relationships in a problem that involves the function y = 2x + 6. Our findings illustrate that 11 third graders and 19 fifth graders provide evidence of functional relationships in their responses. Three third graders and all fifth graders generalized the relationship. We conclude that these differences may be due to the students’ previous classroom mathematical experiences, since students in higher grades would be more likely to focus on the relationships between variables, whereas third graders would focus on the details of arithmetic computations. In addition, we find that natural language is the main vehicle used to generalize in both grades. Unlike third graders, fifth graders perceive general rules from the numerical calculation and express these generalizations even when not explicitly requested to do so.

Ayala-Altamirano, C. y Molina, M. (2019). Justificación y expresión de la generalización de una relación funcional por estudiantes de cuarto de primaria. En Marbán, J. M., Arce, M., Maroto, A., Muñoz-Escolano, J. M. y Alsina, Á.. Investigación en Educación Matemática XXIII (pp. 183-192). Valladolid, España: Universidad de Valladolid.

Analizamos las respuestas de un grupo de estudiantes de cuarto de primaria (9 a 10 años) al resolver una tarea que involucra la función f(x)=2x. Presentamos el análisis de las discusiones entre los estudiantes y el investigador-docente que tienen lugar durante dos sesiones de clases en el marco de un experimento de enseñanza. En los resultados se aprecia cómo la justificación ayudó a expresar de modos más sofisticados la generalización de las relaciones funcionales identificadas. Concretamente el intercambio de ideas ayudó a que la expresión de las generalizaciones fuera cada vez más precisa, involucrara diversos elementos matemáticos y se refiriera a cantidades indeterminadas para expresar la relación entre las variables.

ISBN: 978-84-09-16492-9

Ureña, J., Ramírez, R. y Molina, M. (2019). Representations of the generalization of a functional relationship and the relation with interviewer’s mediation. Infancia y Aprendizaje, 42(34), 1-21.

The ability to generalize and represent the generalization exhibited by eight fourth-grade students was analyzed in this descriptive study, designed around a semi-structured interview involving a task based on the linear functional relationship y=x+2. The relation of the interviewer’s mediation on students’ representations of generalization was determined on the grounds of students’ interaction with her. Four forms to represent the generalization of a functional relationship were defined. The findings confirm the importance of mediation in helping students strengthen their ability to recognize, represent and generalize functional relationships.

ISSN: 0210-3702

Pinto, E. y Cañadas, M. C. (2018). Generalization in fifth graders within a functional approach. PNA, 12(34), 173-184.

This article discusses evidence of 24 fifth graders’ (10-11 year olds’) ability to generalize when solving a problem which involves a linear function. Analyzed in the context of the functional approach of early algebra, the findings show that 3 students generalized both when solving specific instances and when asked to provide the general formula; while 15 students generalized only when asked to define the general formula. The results are described in terms of the functional relationship identified, the types of representation used to express them and the type of questions in which students generalized their answers. Most of the pupils who generalized did so based on the correspondence between pairs of values in the function at issue.

ISSN: 1887-3987

Pinto, E. y Cañadas, M. C. (2018). Generalización y razonamiento inductivo en una estudiante de cuarto de primaria. Un estudio de caso desde el pensamiento funcional. En Rodríguez-Muñiz, L. J., Muñiz-Rodríguez, L., Aguilar-González, Á., Alonso, P., García, F. J. y Bruno, A.. Investigación en Educación Matemática XXII (pp. 457-466). Gijón, España: SEIEM.

En este trabajo abordamos la generalización como parte del proceso de razonamiento inductivo en estudiantes de Educación Primaria. A través de un estudio de caso, describimos cómo una estudiante de cuarto (9 años) sigue los pasos de un modelo de razonamiento inductivo, al trabajar con un problema de generalización que involucra una función lineal. Mediante una entrevista clínica semiestructurada, recogimos evidencias que muestran que la estudiante generalizó la relación entre variables siguiendo, en un orden propio, cuatro de los siete pasos del modelo. Algunos de estos pasos se presentaron de manera simultánea. La estudiante organizó los primeros casos particulares dados, estableciendo una conjetura con base en ellos. Luego, al aumentar el tamaño de los casos particulares, ella modificó sus conjeturas las que luego validó con nuevos casos particulares. Finalmente generalizó.

ISBN: 978-84-DL

Pinto, E. y Cañadas, M. C. (2018). Structures and generalisation in a functional approach: the inverse function by fifth graders. En Gómez, D. M.. Proceedings of the First PME Regional Conference: South America (pp. 89-96). Santiago, Chile: PME.

Against the backdrop of functional thinking to early algebra, this paper discusses an initial study of how 24 fifth year elementary school students (10 to 11 years old) perceived the inverse function. This notion has been scarcely tackled in the context of early algebra and, particularly, within the functional thinking approach. Based on structure and generalisation notions, we analysed the responses of a group of 24 students when solving a problem, which contains questions involving the direct and inverse forms of a problem involving a linear function. Ten of the 24 students were observed to establish structures involving inverse function and five to generalise that form of the function.

ISBN: 978-956-6031-01-7

Ureña, J., Molina, M. y Ramírez, R. (2018). Generalización con estudiantes de cuarto curso de primaria bajo el enfoque funcional. En Rodríguez-Muñiz, L. J., Muñiz-Rodríguez, L., Aguilar-González, Á., Alonso, P., García, F. J. y Bruno, A.. Investigación en Educación Matemática XXII (pp. 584-593). Gijón, España: Universidad de Oviedo.

Este trabajo forma parte de una investigación más amplia centrada en la capacidad de generalización de estudiantes de primaria en contextos funcionales. En este estudio descriptivo se analizan los niveles de generalización que manifiestan ocho estudiantes de cuarto de primaria durante una entrevista en la que se les propone una tarea que involucra una relación funcional. De los resultados se aprecia la capacidad de los alumnos de primaria para expresar la relación funcional y manifestar generalización en diferentes grados, incluso a un nivel simbólico.

ISBN: 978-84-16723-42-3

Ureña, J., Molina, M. y Ramírez, R. (2018). 4th graders’ working on a functional context: generalization levels and influence of stimuli. En Bergqvist, E., Österholm, M., Granberg, C. y Sumpter, L.. Proceedings of the 42nd Conference of the International Group for the Psychology of Mathematics Education (pp. 178). Umeå, Sweden: PME.

In this study we analyze the generalization levels shown by eight 4th grade Spanish students while working, during an interview, on a task based on the functional relationship x+2. The task had an inductive structure and asked about the relation between the hours of stay of a car in a parking lot and the money to be paid. At the same time we study how the stimuli made by the interviewer (e.g. suggest, summarize information, redirect, etc.) influence the manifestation of generalizations.

ISBN: 978-91-7601-902-3

Pinto, E. y Cañadas, M. C. (2017). Estructuras y generalización de estudiantes de tercero y quinto de primaria: un estudio comparativo. En Muñoz, J. M., Arnal-Bailera, A., Beltrán-Pellicer, P., Callejo, M. L., Carrillo, J. y León-Mantero, C.. Investigación en Educación Matemática XXI (pp. 407-416). Zaragoza, España: Universidad de Zaragoza.

Desde un enfoque funcional del álgebra escolar, presentamos un estudio comparativo entre estudiantes de tercero y quinto de Educación Primaria, centrado en las estructuras del patrón, la generalización y la relación estructuras-generalización. Analizamos las respuestas de los estudiantes a varias cuestiones sobre un problema contextualizado que involucra una función lineal. Los resultados muestran diferencias en la cantidad y variedad de estructuras identificadas por estudiantes de ambos cursos, siendo mayor en tercero. Los estudiantes de tercero tienden a trabajar con casos particulares y un estudiante generaliza. La mayoría de los estudiantes de quinto generaliza la estructura y emplean esa misma estructura en sus respuestas. En este curso, tres estudiantes generalizan en cuestiones sobre casos particulares.

ISBN: 978-84-16723-42-3

Pinto, E. y Cañadas, M. C. (2017). Functional thinking and generalisation in third year of primary school. En Dooley, T. y Gueudet, G.. Proceedings of the Tenth Congress of the European Society for Research in Mathematics Education (pp. 472-479). Dublin, Irlanda: ERME.

This paper focuses on functional thinking as an approximation to algebraic thinking in third-year primary-school students. It describes a study with a class group of 24 Spanish pupils displaying functional thinking to solve a contextualised problem, identifying the type of functional relationships distinguished by these students and the ability to generalise observed in some of them. It contains an analysis of the information collected in one questionnaire, which is part of a teaching experiment. The students distinguished two types of functional relationships, correspondence and covariation, predominantly the former. Three students generalised as well

ISBN: 978-1-873769-73-7

Merino, E., Cañadas, M. C. y Molina, M. (2013). Estrategias utilizadas por alumnos de primaria en una tarea de generalización basada en un ejemplo genérico. En Berciano, A., Gutiérrez, Á., Estepa, A. y Climent, N.. Investigación en Educación Matemática XVII (pp. 383-392). Bilbao, España: SEIEM.

En este trabajo indagamos en la capacidad de generalización de estudiantes de quinto de educación primaria por medio del análisis de las estrategias que utilizan cuando abordan una tarea escrita de generalización, basada en un ejemplo genérico. Nos centramos aquí en las respuestas de estos alumnos a las cuestiones de dicha tarea relativas a relaciones funcionales inversas entre dos variables. Destacamos el uso de diferentes patrones como estrategia más frecuente y las evidencias obtenidas de la capacidad de generalización de los alumnos de quinto de educación primaria.

Cañadas, M. C., Castro C. y Castro E. (2012). Diferentes formas de expresar la generalización en problemas de secuencias. Gaceta de la RSME, 15(3), 561–573.

En este artículo fijamos la atención en la generalización que realizan los estudiantes en un contexto de resolución de problemas de carácter inductivo en los que se encuentran involucrados diferentes sistemas de representación. Las variables de tarea y el proceso de selección de los problemas han sido descritos en [4]. Presentamos resultados sobre las formas de expresar la generalización y su relación con las representaciones utilizadas en los enunciados para expresar los casos particulares en un cuestionario escrito constituido por seis problemas que involucran sucesiones. Comenzamos presentando las principales ideas que conciernen a nuestra aproximación a la generalización y a las diferentes representaciones, situando la atención en diferentes tipos de generalización. En segundo lugar, presentamos las preguntas de investigación que aborda este artículo. En tercer lugar presentamos una descripción de la metodología empleada y, posteriormente, presentamos los hallazgos y las interpretaciones, finalizando con las conclusiones del trabajo realizado.

Merino, E., Cañadas, M. C. y Molina, M. (2012). Estrategias y representaciones usadas por un grupo de alumnos de quinto de primaria en una tarea de generalización. Conferencia presentada en XVI Simposio de la SEIEM. Jaen, España.

Este trabajo se enmarca dentro de una investigación más amplia cuyo principal objetivo es indagar en las estrategias y representaciones que utilizan los alumnos de quinto de educación primaria cuando realizan una tarea de generalización. Recogimos la información en el aula habitual de un grupo de 20 alumnos del citado curso. Les propusimos una tarea de generalización a partir de un ejemplo genérico. Esta tarea está constituida por diez cuestiones. En este artículo presentamos el análisis y resultados de las respuestas a una de esas cuestiones. Destacamos la diversidad de representaciones utilizadas y el uso de diversos patrones como estrategia más empleada.

Cañadas, M. C. y Figueiras, L. (2011). Uso de representaciones y generalizacion de la regla del producto. Infancia y Aprendizaje, 34(4), 409-425.

Analizamos los protocolos de resolución de problemas de 50 estudiantes con el objetivo de profundizar en la construcción de la regla del producto como esquema básico de resolución de problemas de conteo. En particular, indagamos en el uso que se hace de la inducción y de diferentes representaciones para pasar de la enumeración exhaustiva y el recuento total de posibilidades a la generalización de dicha regla. El análisis ha puesto de manifiesto la existencia de dos procesos de generalización: sobre la dimensión del problema y sobre el número de elementos que intervienen en cada factor. Mostramos cómo ambos procesos se relacionan con el uso efectivo de los diagramas de árbol que los estudiantes generan de manera espontánea y apuntamos posibles implicaciones para la instrucción. Por otra parte, el análisis de los datos ha generado la necesidad de indagar en la conexión entre las representaciones textuales y otros tipos de representaciones, evaluando su funcionalidad.

(2010). Razonamiento y estrategias en la transicion a la generalizacion en un problema de combinatoria. PNA, 4(2), 73-83.

Describimos el proceso seguido por estudiantes de 11 y 12 años para descubrir patrones de conteo en un problema básico de combinatoria. Hacemos énfasis en la transición de las estrategias manipulativas para el conteo directo a la generalización. En esta transición hubo estudian-tes que utilizaron, de forma espontánea, diagramas de árbol; y otros es-tudiantes que recurrieron a estrategias comunes en pensamiento numé-rico. Resaltamos el interés de resolver problemas de combinatoria sin haber aprendido fórmulas previas para que los estudiantes den signifi-cado a la regla del producto y relacionamos los resultados obtenidos con aspectos didácticos de la multiplicación en educación primaria.

Trujillo, P. A., Castro, E. y Molina, M. (2010). Generalización desde tareas aritméticas desempeño de una pareja de profesores de educación primaria en formación. Conferencia presentada en 11° Encuentro Colombiano Matemática Educativa. Bogotá, Colombia.

Presentamos en esta comunicación parte de un estudio de casos que analiza el proceso de generalización que realizan futuros profesores de Educación Primaria cuando trabajan expresiones aritméticas que permiten la generalización. Para justificar la pertinencia e interés de este trabajo nos basamos en investigaciones internacionales relacionadas con esta área, las cuales nos han permitido perfilar el marco teórico de esta investigación. La recogida de datos se llevó a cabo en dos sesiones, en forma de entrevistas a dos parejas de estudiantes, en la que cada pareja trabajó conjuntamente en la resolución de cuatro tareas escritas. Centramos nuestra atención aquí en la producción de una de las parejas en la primera tarea. Partiendo de la comparación de los enunciados de generalización de ambos estudiantes, en cuanto a semejanzas y diferencias, presentamos algunas conclusiones acerca de su proceso de generalización.

Trujillo, P., Castro, E. y Molina, M. (2009). El proceso de generalización: un estudio con futuros maestros de primaria. Indivisa, Monografía XII, 24(1), 73-90.

Se presenta un avance de una investigación que pretende estudiar el proceso de generalización que realizan futuros profesores de Educación Primaria cuando trabajan expresiones aritméticas que permiten la generalización. Para justificar la pertinencia e interés de este trabajo nos basamos en investigaciones internacionales relacionadas con esta área las cuales nos han permitido perfilar el marco teórico de esta investigación. Tras haber realizado una fase de experimentación, mostramos aquí los primeros resultados. Los datos se recogieron a través de una entrevista a dos parejas de alumnos, en la que cada pareja trabajó conjuntamente en la resolución de la tarea escrita propuesta.

Cañadas M., Castro E. y Castro E. (2008). Patrones, generalización y estrategias inductivas de estudiantes de 3º y 4º de educación secundaria obligatoria en el problema de las baldosas. PNA.

En este trabajo describimos los patrones y la generalización que llevan a cabo 359 estudiantes de 3º y 4º de Educación Secundaria Obligatoria en la resolución del problema de las baldosas. Prestamos especial atención a los tipos de patrones identificados, a la forma en que los estudiantes expresan la generalización y, mediante la descripción de las estrategias inductivas, presentamos algunas características de la generalización referentes a los elementos y a los sistemas de representación utilizados.

Cañadas M., Castro E. y Castro E. (2008). Descripción de la generalización de estudiantes de 3º y 4º de eso en la resolución de problemas que involucran sucesiones lineales y cuadráticas. Investigación en Educación Matemática XII.

Describimos la generalización que logran estudiantes de 3º y 4º de Educación Secundaria Obligatoria (ESO) en la resolución de problemas que involucran sucesiones lineales y cuadráticas. La descripción se centra en aspectos relativos al razonamiento inductivo y a las estrategias inductivas. Estas estrategias permiten describir el proceso seguido en términos de los elementos y los sistemas de representación correspondientes al contenido matemático.

ISSN: 978-84-934488-9-9